Efe
New member
72 ve 80 Sayılarının En Büyük Ortak Böleni: Küçük Bir Sayının Büyük Bir Hikâyeye Dönüştüğü Akşam
Geçenlerde bir forumda “72 ve 80 sayılarının en büyük ortak böleni nedir?” sorusunu görünce açıkçası birkaç saniye durup düşündüm. İlk bakışta bu, cevabı birkaç işlemle bulunabilecek sıradan bir matematik sorusu gibi duruyor. Nitekim cevabı 8. Fakat matematikle biraz daha uzun süre uğraşınca insanın karşısına yalnızca sayılar değil, düzen, paylaşım, ölçme, planlama ve hatta insan ilişkileri çıkıyor.
Benim asıl dikkatimi çeken de bu oldu.
Çünkü 72 ile 80’i yalnızca iki sayı olarak değil, iki farklı büyüklükteki iki sandık gibi düşünürsek, “Bu sandıkları hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte parçalara nasıl ayırabiliriz?” sorusu ortaya çıkıyor. İşte en büyük ortak bölen tam olarak bu sorunun matematiksel cevabını veriyor.
Bu konuyu bir akşam yaşanan küçük bir olay üzerinden anlatmak istiyorum. Hikâyedeki kişiler tamamen kurgusal; ancak matematiksel yöntem ve tarihsel arka plan gerçek matematik bilgilerine dayanıyor.
Kasabanın Eski Saat Kulesinin Altında
Akşamüstü, yağmurdan sonra taş kaldırımları hâlâ ıslakken, eski saat kulesinin altında dört kişi buluşmuştu.
Mert, elindeki defteri açıp masanın üzerine bıraktı.
“72 tane taşımız var,” dedi. “Bir de 80 tane. Bunları eşit büyüklükte gruplara ayırmamız gerekiyor. Üstelik hiçbir taş artmayacak.”
Yanındaki Deniz hemen taşların nasıl dağıtılabileceğini düşünmeye başladı. Deniz'in zihni, bir problemi gördüğünde yalnızca tek bir sonuca gitmiyordu; önce herkesin neye ihtiyacı olduğunu anlamaya çalışıyordu.
“Grupların gerçekten aynı büyüklükte olması önemli,” dedi. “Ama neden böyle bir şart koyulduğunu da bilmemiz gerekmiyor mu?”
Mert gülümsedi.
“Matematik problemi olduğunu unutuyorsun.”
“Sen de matematiğin bir hikâyenin içinde ortaya çıktığını unutuyorsun,” diye karşılık verdi Deniz.
Masadaki diğer iki kişi, Selin ve Arda, birbirlerine baktılar.
Arda hesap makinesini çıkarmıştı ama Selin kalemi eline aldı.
“Bence önce hepimiz tahmin edelim,” dedi. “Sonra yöntemi uygulayalım. Böylece sadece cevabı değil, neden o cevap olduğunu da görelim.”
İşte o anda masadaki küçük problem, sıradan bir işlem olmaktan çıktı.
72 ve 80'i Aynı Parçalara Bölmek
Önce soruyu sadeleştirelim.
Elimizde:
72
ve
80
sayıları var.
Aradığımız şey, bu iki sayıyı da kalansız bölen en büyük sayı.
Başka bir deyişle, öyle bir sayı bulacağız ki hem 72'yi hem de 80'i bölecek ve bundan daha büyük ortak bölen olmayacak.
Mert tahtaya birkaç sayı yazdı:
“72'nin bölenlerine bakalım.”
72 şu sayılara kalansız bölünebilir:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 ve 72.
Ardından 80'in bölenleri yazıldı:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80.
İki listenin ortak noktalarına baktığımızda:
1, 2, 4 ve 8
sayılarını görüyoruz.
Bunların en büyüğü 8.
Dolayısıyla:
EBOB(72, 80) = 8
Arda başını kaldırdı.
“Yani bütün hikâye bu mu?”
Deniz güldü.
“Matematiksel cevap olarak evet. Ama neden 8 olduğunu farklı bir yöntemle de gösterebiliriz.”
Öklid'in Fikri Masaya Geliyor
Selin bu kez 72 ve 80'i alt alta yazdı.
“Daha hızlı bir yöntem var: Öklid algoritması.”
80'in içinde 72 bir kez bulunur.
80 - 72 = 8
Şimdi 72 ile 8'i ele alıyoruz.
72, 8'e tam bölünür:
72 ÷ 8 = 9
Kalan sıfır olduğuna göre son sıfır olmayan kalan, yani 8, bu iki sayının en büyük ortak bölenidir.
İşlem şöyle özetlenebilir:
80 = 72 × 1 + 8
72 = 8 × 9 + 0
Son sıfır olmayan kalan:
8
Mert, “Bu yöntem gerçekten güzel,” dedi. “Uzun uzun bölenleri listelemek yerine iki sayı arasındaki farkı kullanıyoruz.”
Arda ise farklı bir noktaya dikkat çekti.
“Üstelik 80 ile 72 arasındaki fark da zaten 8.”
Bu, hikâyenin önemli noktalarından biriydi.
Çünkü bazen bir matematik problemini çözmek için bütün ayrıntıları tek tek incelemek yerine, sayıların arasındaki yapıyı görmek yeterlidir.
Bir Sayı Neden “En Büyük” Olmak Zorunda?
Burada sıkça karıştırılan bir nokta var.
Bir sayının ortak böleni olması yeterli değil. Örneğin 72 ve 80'in ortak böleni 4'tür.
Ama soru “ortak bölenlerinden biri nedir?” demiyor.
“En büyük ortak bölen nedir?” diyor.
Dolayısıyla 1, 2 ve 4 doğru ortak bölenler olsa da aradığımız cevap değiller.
8 ise hem 72'yi hem de 80'i kalansız böler:
72 ÷ 8 = 9
80 ÷ 8 = 10
Böylece iki sayı da hiçbir şey artmadan eşit büyüklükte parçalara ayrılabilir.
Hikâyedeki taşlara dönersek, 72 taşlık sandık 8'erli gruplara ayrıldığında 9 grup, 80 taşlık sandık ise 10 grup oluşturur.
İki sandıkta da grup büyüklüğü aynıdır.
Eski İnsanlar İçin Bölünebilmek Neden Önemliydi?
Deniz bir süre sessiz kaldıktan sonra saat kulesine baktı.
“Bu sorunun aslında düşündüğümüzden daha eski bir tarafı var.”
Gerçekten de bölme, paylaşma ve ölçme insanlık tarihinin en eski matematiksel ihtiyaçları arasında yer alır.
Antik toplumlarda tahılın paylaştırılması, arazilerin ölçülmesi, işçilerin gruplandırılması, takvimlerin oluşturulması ve ticari malların dağıtılması gibi işler matematiksel düşünmeyi gerektiriyordu.
Bugün “72 ve 80'in EBOB'u kaç?” diye sorduğumuzda soyut bir işlem yapıyoruz. Ancak aynı matematiksel fikir geçmişte çok somut problemlerin çözümünde işe yarıyordu:
“Bu miktarı eşit parçalara nasıl böleriz?”
“Hiçbir şey artmadan kaç kişiye dağıtabiliriz?”
“Farklı büyüklükteki iki alanı hangi en büyük eşit ölçü birimiyle ifade edebiliriz?”
Bunların tamamında ortak bölen düşüncesi karşımıza çıkabilir.
Öklid'in adı da burada özellikle önemlidir. Antik Yunan matematikçisi Öklid, yaklaşık MÖ 300 dolaylarında yazdığı Elementler adlı eserinde sayıların özelliklerini sistematik biçimde ele aldı. Bugün “Öklid algoritması” olarak adlandırdığımız yöntem, modern bilgisayar biliminde bile kullanılan temel algoritmik fikirlerden biridir.
Yani masamızdaki 72 ve 80, aslında binlerce yıllık bir matematik geleneğinin küçük birer temsilcisi gibiydi.
Mert'in Planı, Deniz'in Sorusu
Mert, “Ben olsam doğrudan Öklid algoritmasını kullanırım,” dedi.
Deniz ise “Ben önce problemin neyi temsil ettiğini anlamaya çalışırım,” diye cevap verdi.
Arda araya girdi:
“İkiniz de aynı yere farklı yollardan gidiyorsunuz.”
Bu konuşma aslında hikâyenin matematikten daha geniş tarafını gösteriyordu.
Mert'in yaklaşımı hızlı, çözüm odaklı ve stratejikti. Önündeki problemi parçalara ayırıyor, en kısa yolu bulmaya çalışıyordu.
Deniz ise problemin insan tarafını sorguluyordu. “Bu sayılar neden eşit gruplara ayrılacak?” diye soruyor, işlemin arkasındaki amacı anlamaya çalışıyordu.
Fakat birkaç dakika sonra roller değişti.
Mert, Deniz'in sorusunu düşünürken işlemin gerçek hayattaki karşılığını fark etti. Deniz ise Öklid algoritmasını kullanarak işlemi Mert'ten bile hızlı yaptı.
Selin gülerek:
“Demek ki stratejik düşünmek bir cinsiyete, empati de başka bir cinsiyete ait değilmiş,” dedi.
Herkes güldü.
Bu küçük konuşma, modern hayatta sık karşılaştığımız bazı kalıpları da sorgulatıyordu. İnsanları “erkekler böyledir, kadınlar şöyledir” diye sınıflandırmak yerine, çözüm odaklılık, empati, analitik düşünme ve iletişim becerilerinin kişiden kişiye değiştiğini görmek çok daha anlamlıydı.
Bir problemi çözerken kimi insan önce yöntemi bulur, kimi önce insanların ihtiyaçlarını sorar, kimi ikisini aynı anda yapar.
Matematik de bize bunun güzel bir örneğini sunuyordu.
8 Sayısının Sessiz Gücü
Saat kulesi sekizi gösterdiğinde masadaki herkes bir an durdu.
Arda gülümsedi.
“Bakın, tam da cevabımız.”
Gerçekten de saat sekizi gösteriyordu.
72 ve 80'in en büyük ortak böleni 8'di.
Fakat 8'in burada yalnızca bir cevap olmadığını fark etmek ilginçti.
72 = 8 × 9
80 = 8 × 10
Bu nedenle iki sayıyı 8'erlik gruplara ayırdığımızda:
72 → 9 grup
80 → 10 grup
elde ediyoruz.
Üstelik 8'den daha büyük herhangi bir sayı iki sayıyı birden kalansız bölemez.
Örneğin 10, 80'i böler ama 72'yi bölmez.
12, 72'yi böler ama 80'i bölmez.
16, 80'i böler ama 72'yi bölmez.
20, 80'i böler ama 72'yi bölmez.
24, 72'yi böler ama 80'i bölmez.
40, 80'i böler ama 72'yi bölmez.
Bu yüzden ortak bölenler içinde en büyük değer 8'dir.
Peki Aynı Soruyla Başka Neler Yapabiliriz?
Hikâyedeki grup artık dağılmaya hazırlanıyordu ama Selin son bir soru sordu:
“EBOB'u 8 bulduysak, bunu başka bir matematik problemine dönüştürebilir miyiz?”
Elbette.
Örneğin 72 ve 80 uzunluklarını, en büyük ve eşit kare parçalarla kaplamak istediğimizi düşünelim. Böyle bir durumda karelerin bir kenar uzunluğu olarak kullanılabilecek en büyük değer 8 birim olur.
72 birimlik uzunluk:
72 ÷ 8 = 9
80 birimlik uzunluk:
80 ÷ 8 = 10
Böylece 9 × 10 düzeninde toplam:
90 kare
elde edilir.
Burada EBOB'un geometriyle bağlantısını da görüyoruz.
Benzer biçimde iki farklı miktardaki nesneyi, aynı sayıda nesne içeren en büyük gruplara ayırmak istediğimizde de EBOB işe yarar.
İşte bu nedenle EBOB yalnızca okulda karşılaşılan bir işlem değildir. Paketleme, ölçme, bölüştürme, alan hesaplama ve algoritmik problemlerde aynı düşünce karşımıza çıkar.
Sonuç: Cevap 8, Ama Asıl Ders Başka
Saat kulesinin altındaki masa artık boşalmıştı.
Mert defterini kapattı.
“Başta bunun sadece 8 olduğunu düşünmüştüm.”
Deniz başını salladı.
“Aslında cevap hâlâ 8.”
“Evet,” dedi Mert. “Ama artık 8'in neden 8 olduğunu biliyorum.”
Bence matematikte en değerli nokta da burada.
72 ve 80 sayılarının en büyük ortak böleni 8'dir.
Bunu iki temel yöntemle görebiliriz:
1. Bölenleri listeleyerek:
72'nin ve 80'in ortak bölenleri:
1, 2, 4, 8
En büyüğü:
8
2. Öklid algoritmasıyla:
80 = 72 × 1 + 8
72 = 8 × 9 + 0
Son sıfır olmayan kalan:
EBOB = 8
Fakat belki de asıl ilginç soru şu:
Bir matematik problemini yalnızca doğru cevabı bulmak için mi çözüyoruz, yoksa o cevaba götüren düşünme biçimini anlamak için mi?
72 ve 80'in ortak noktası 8.
Ama bu küçük işlem bize çok daha büyük bir şeyi de hatırlatıyor: Karmaşık görünen bir problemi bazen parçalara ayırmak, bazen aradaki ilişkiyi görmek, bazen de sorunun arkasındaki gerçek ihtiyacı anlamak gerekir.
Tıpkı hikâyedeki karakterlerde olduğu gibi.
Birinin hızlı bir strateji kurması, diğerinin insanların ihtiyaçlarını fark etmesiyle çelişmek zorunda değildir. Aksine, farklı düşünme biçimleri bir araya geldiğinde problem daha anlaşılır hâle gelebilir.
Belki de matematiğin en güzel taraflarından biri budur.
Bir sorunun cevabı tek olabilir.
Ama o cevaba ulaşmanın yolları ve o cevaptan çıkarabileceğimiz düşünceler çok daha fazla olabilir.
Kısa Kaynak Notu
Bu yazıdaki matematiksel sonuçlar temel sayı teorisi bilgilerine ve Öklid algoritmasına dayanmaktadır. Öklid'in Elementler (Elements) adlı eseri, sayıların ve oranların sistematik biçimde incelendiği klasik matematik metinlerinden biridir. EBOB'un hesaplanmasında kullanılan Öklid algoritması da bu tarihsel matematik geleneğiyle ilişkilendirilen temel yöntemlerden biridir.
Kaynak olarak başvurulabilecek temel eserler arasında:
Öklid – Elements (Elementler)
G. H. Hardy ve E. M. Wright – An Introduction to the Theory of Numbers
David M. Burton – Elementary Number Theory
yer alır.
Ve forumdaki soruya dönersek:
72 ve 80 sayılarının en büyük ortak böleni = 8
Peki siz olsaydınız 8'i bulmak için bölenleri tek tek mi listelerdiniz, yoksa Öklid algoritmasını mı kullanırdınız? Daha da önemlisi, günlük hayatta “iki farklı şeyi en büyük ortak parçalara ayırma” problemiyle nerelerde karşılaştığınızı hiç düşündünüz mü?
Geçenlerde bir forumda “72 ve 80 sayılarının en büyük ortak böleni nedir?” sorusunu görünce açıkçası birkaç saniye durup düşündüm. İlk bakışta bu, cevabı birkaç işlemle bulunabilecek sıradan bir matematik sorusu gibi duruyor. Nitekim cevabı 8. Fakat matematikle biraz daha uzun süre uğraşınca insanın karşısına yalnızca sayılar değil, düzen, paylaşım, ölçme, planlama ve hatta insan ilişkileri çıkıyor.
Benim asıl dikkatimi çeken de bu oldu.
Çünkü 72 ile 80’i yalnızca iki sayı olarak değil, iki farklı büyüklükteki iki sandık gibi düşünürsek, “Bu sandıkları hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte parçalara nasıl ayırabiliriz?” sorusu ortaya çıkıyor. İşte en büyük ortak bölen tam olarak bu sorunun matematiksel cevabını veriyor.
Bu konuyu bir akşam yaşanan küçük bir olay üzerinden anlatmak istiyorum. Hikâyedeki kişiler tamamen kurgusal; ancak matematiksel yöntem ve tarihsel arka plan gerçek matematik bilgilerine dayanıyor.
Kasabanın Eski Saat Kulesinin Altında
Akşamüstü, yağmurdan sonra taş kaldırımları hâlâ ıslakken, eski saat kulesinin altında dört kişi buluşmuştu.
Mert, elindeki defteri açıp masanın üzerine bıraktı.
“72 tane taşımız var,” dedi. “Bir de 80 tane. Bunları eşit büyüklükte gruplara ayırmamız gerekiyor. Üstelik hiçbir taş artmayacak.”
Yanındaki Deniz hemen taşların nasıl dağıtılabileceğini düşünmeye başladı. Deniz'in zihni, bir problemi gördüğünde yalnızca tek bir sonuca gitmiyordu; önce herkesin neye ihtiyacı olduğunu anlamaya çalışıyordu.
“Grupların gerçekten aynı büyüklükte olması önemli,” dedi. “Ama neden böyle bir şart koyulduğunu da bilmemiz gerekmiyor mu?”
Mert gülümsedi.
“Matematik problemi olduğunu unutuyorsun.”
“Sen de matematiğin bir hikâyenin içinde ortaya çıktığını unutuyorsun,” diye karşılık verdi Deniz.
Masadaki diğer iki kişi, Selin ve Arda, birbirlerine baktılar.
Arda hesap makinesini çıkarmıştı ama Selin kalemi eline aldı.
“Bence önce hepimiz tahmin edelim,” dedi. “Sonra yöntemi uygulayalım. Böylece sadece cevabı değil, neden o cevap olduğunu da görelim.”
İşte o anda masadaki küçük problem, sıradan bir işlem olmaktan çıktı.
72 ve 80'i Aynı Parçalara Bölmek
Önce soruyu sadeleştirelim.
Elimizde:
72
ve
80
sayıları var.
Aradığımız şey, bu iki sayıyı da kalansız bölen en büyük sayı.
Başka bir deyişle, öyle bir sayı bulacağız ki hem 72'yi hem de 80'i bölecek ve bundan daha büyük ortak bölen olmayacak.
Mert tahtaya birkaç sayı yazdı:
“72'nin bölenlerine bakalım.”
72 şu sayılara kalansız bölünebilir:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 ve 72.
Ardından 80'in bölenleri yazıldı:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80.
İki listenin ortak noktalarına baktığımızda:
1, 2, 4 ve 8
sayılarını görüyoruz.
Bunların en büyüğü 8.
Dolayısıyla:
EBOB(72, 80) = 8
Arda başını kaldırdı.
“Yani bütün hikâye bu mu?”
Deniz güldü.
“Matematiksel cevap olarak evet. Ama neden 8 olduğunu farklı bir yöntemle de gösterebiliriz.”
Öklid'in Fikri Masaya Geliyor
Selin bu kez 72 ve 80'i alt alta yazdı.
“Daha hızlı bir yöntem var: Öklid algoritması.”
80'in içinde 72 bir kez bulunur.
80 - 72 = 8
Şimdi 72 ile 8'i ele alıyoruz.
72, 8'e tam bölünür:
72 ÷ 8 = 9
Kalan sıfır olduğuna göre son sıfır olmayan kalan, yani 8, bu iki sayının en büyük ortak bölenidir.
İşlem şöyle özetlenebilir:
80 = 72 × 1 + 8
72 = 8 × 9 + 0
Son sıfır olmayan kalan:
8
Mert, “Bu yöntem gerçekten güzel,” dedi. “Uzun uzun bölenleri listelemek yerine iki sayı arasındaki farkı kullanıyoruz.”
Arda ise farklı bir noktaya dikkat çekti.
“Üstelik 80 ile 72 arasındaki fark da zaten 8.”
Bu, hikâyenin önemli noktalarından biriydi.
Çünkü bazen bir matematik problemini çözmek için bütün ayrıntıları tek tek incelemek yerine, sayıların arasındaki yapıyı görmek yeterlidir.
Bir Sayı Neden “En Büyük” Olmak Zorunda?
Burada sıkça karıştırılan bir nokta var.
Bir sayının ortak böleni olması yeterli değil. Örneğin 72 ve 80'in ortak böleni 4'tür.
Ama soru “ortak bölenlerinden biri nedir?” demiyor.
“En büyük ortak bölen nedir?” diyor.
Dolayısıyla 1, 2 ve 4 doğru ortak bölenler olsa da aradığımız cevap değiller.
8 ise hem 72'yi hem de 80'i kalansız böler:
72 ÷ 8 = 9
80 ÷ 8 = 10
Böylece iki sayı da hiçbir şey artmadan eşit büyüklükte parçalara ayrılabilir.
Hikâyedeki taşlara dönersek, 72 taşlık sandık 8'erli gruplara ayrıldığında 9 grup, 80 taşlık sandık ise 10 grup oluşturur.
İki sandıkta da grup büyüklüğü aynıdır.
Eski İnsanlar İçin Bölünebilmek Neden Önemliydi?
Deniz bir süre sessiz kaldıktan sonra saat kulesine baktı.
“Bu sorunun aslında düşündüğümüzden daha eski bir tarafı var.”
Gerçekten de bölme, paylaşma ve ölçme insanlık tarihinin en eski matematiksel ihtiyaçları arasında yer alır.
Antik toplumlarda tahılın paylaştırılması, arazilerin ölçülmesi, işçilerin gruplandırılması, takvimlerin oluşturulması ve ticari malların dağıtılması gibi işler matematiksel düşünmeyi gerektiriyordu.
Bugün “72 ve 80'in EBOB'u kaç?” diye sorduğumuzda soyut bir işlem yapıyoruz. Ancak aynı matematiksel fikir geçmişte çok somut problemlerin çözümünde işe yarıyordu:
“Bu miktarı eşit parçalara nasıl böleriz?”
“Hiçbir şey artmadan kaç kişiye dağıtabiliriz?”
“Farklı büyüklükteki iki alanı hangi en büyük eşit ölçü birimiyle ifade edebiliriz?”
Bunların tamamında ortak bölen düşüncesi karşımıza çıkabilir.
Öklid'in adı da burada özellikle önemlidir. Antik Yunan matematikçisi Öklid, yaklaşık MÖ 300 dolaylarında yazdığı Elementler adlı eserinde sayıların özelliklerini sistematik biçimde ele aldı. Bugün “Öklid algoritması” olarak adlandırdığımız yöntem, modern bilgisayar biliminde bile kullanılan temel algoritmik fikirlerden biridir.
Yani masamızdaki 72 ve 80, aslında binlerce yıllık bir matematik geleneğinin küçük birer temsilcisi gibiydi.
Mert'in Planı, Deniz'in Sorusu
Mert, “Ben olsam doğrudan Öklid algoritmasını kullanırım,” dedi.
Deniz ise “Ben önce problemin neyi temsil ettiğini anlamaya çalışırım,” diye cevap verdi.
Arda araya girdi:
“İkiniz de aynı yere farklı yollardan gidiyorsunuz.”
Bu konuşma aslında hikâyenin matematikten daha geniş tarafını gösteriyordu.
Mert'in yaklaşımı hızlı, çözüm odaklı ve stratejikti. Önündeki problemi parçalara ayırıyor, en kısa yolu bulmaya çalışıyordu.
Deniz ise problemin insan tarafını sorguluyordu. “Bu sayılar neden eşit gruplara ayrılacak?” diye soruyor, işlemin arkasındaki amacı anlamaya çalışıyordu.
Fakat birkaç dakika sonra roller değişti.
Mert, Deniz'in sorusunu düşünürken işlemin gerçek hayattaki karşılığını fark etti. Deniz ise Öklid algoritmasını kullanarak işlemi Mert'ten bile hızlı yaptı.
Selin gülerek:
“Demek ki stratejik düşünmek bir cinsiyete, empati de başka bir cinsiyete ait değilmiş,” dedi.
Herkes güldü.
Bu küçük konuşma, modern hayatta sık karşılaştığımız bazı kalıpları da sorgulatıyordu. İnsanları “erkekler böyledir, kadınlar şöyledir” diye sınıflandırmak yerine, çözüm odaklılık, empati, analitik düşünme ve iletişim becerilerinin kişiden kişiye değiştiğini görmek çok daha anlamlıydı.
Bir problemi çözerken kimi insan önce yöntemi bulur, kimi önce insanların ihtiyaçlarını sorar, kimi ikisini aynı anda yapar.
Matematik de bize bunun güzel bir örneğini sunuyordu.
8 Sayısının Sessiz Gücü
Saat kulesi sekizi gösterdiğinde masadaki herkes bir an durdu.
Arda gülümsedi.
“Bakın, tam da cevabımız.”
Gerçekten de saat sekizi gösteriyordu.
72 ve 80'in en büyük ortak böleni 8'di.
Fakat 8'in burada yalnızca bir cevap olmadığını fark etmek ilginçti.
72 = 8 × 9
80 = 8 × 10
Bu nedenle iki sayıyı 8'erlik gruplara ayırdığımızda:
72 → 9 grup
80 → 10 grup
elde ediyoruz.
Üstelik 8'den daha büyük herhangi bir sayı iki sayıyı birden kalansız bölemez.
Örneğin 10, 80'i böler ama 72'yi bölmez.
12, 72'yi böler ama 80'i bölmez.
16, 80'i böler ama 72'yi bölmez.
20, 80'i böler ama 72'yi bölmez.
24, 72'yi böler ama 80'i bölmez.
40, 80'i böler ama 72'yi bölmez.
Bu yüzden ortak bölenler içinde en büyük değer 8'dir.
Peki Aynı Soruyla Başka Neler Yapabiliriz?
Hikâyedeki grup artık dağılmaya hazırlanıyordu ama Selin son bir soru sordu:
“EBOB'u 8 bulduysak, bunu başka bir matematik problemine dönüştürebilir miyiz?”
Elbette.
Örneğin 72 ve 80 uzunluklarını, en büyük ve eşit kare parçalarla kaplamak istediğimizi düşünelim. Böyle bir durumda karelerin bir kenar uzunluğu olarak kullanılabilecek en büyük değer 8 birim olur.
72 birimlik uzunluk:
72 ÷ 8 = 9
80 birimlik uzunluk:
80 ÷ 8 = 10
Böylece 9 × 10 düzeninde toplam:
90 kare
elde edilir.
Burada EBOB'un geometriyle bağlantısını da görüyoruz.
Benzer biçimde iki farklı miktardaki nesneyi, aynı sayıda nesne içeren en büyük gruplara ayırmak istediğimizde de EBOB işe yarar.
İşte bu nedenle EBOB yalnızca okulda karşılaşılan bir işlem değildir. Paketleme, ölçme, bölüştürme, alan hesaplama ve algoritmik problemlerde aynı düşünce karşımıza çıkar.
Sonuç: Cevap 8, Ama Asıl Ders Başka
Saat kulesinin altındaki masa artık boşalmıştı.
Mert defterini kapattı.
“Başta bunun sadece 8 olduğunu düşünmüştüm.”
Deniz başını salladı.
“Aslında cevap hâlâ 8.”
“Evet,” dedi Mert. “Ama artık 8'in neden 8 olduğunu biliyorum.”
Bence matematikte en değerli nokta da burada.
72 ve 80 sayılarının en büyük ortak böleni 8'dir.
Bunu iki temel yöntemle görebiliriz:
1. Bölenleri listeleyerek:
72'nin ve 80'in ortak bölenleri:
1, 2, 4, 8
En büyüğü:
8
2. Öklid algoritmasıyla:
80 = 72 × 1 + 8
72 = 8 × 9 + 0
Son sıfır olmayan kalan:
EBOB = 8
Fakat belki de asıl ilginç soru şu:
Bir matematik problemini yalnızca doğru cevabı bulmak için mi çözüyoruz, yoksa o cevaba götüren düşünme biçimini anlamak için mi?
72 ve 80'in ortak noktası 8.
Ama bu küçük işlem bize çok daha büyük bir şeyi de hatırlatıyor: Karmaşık görünen bir problemi bazen parçalara ayırmak, bazen aradaki ilişkiyi görmek, bazen de sorunun arkasındaki gerçek ihtiyacı anlamak gerekir.
Tıpkı hikâyedeki karakterlerde olduğu gibi.
Birinin hızlı bir strateji kurması, diğerinin insanların ihtiyaçlarını fark etmesiyle çelişmek zorunda değildir. Aksine, farklı düşünme biçimleri bir araya geldiğinde problem daha anlaşılır hâle gelebilir.
Belki de matematiğin en güzel taraflarından biri budur.
Bir sorunun cevabı tek olabilir.
Ama o cevaba ulaşmanın yolları ve o cevaptan çıkarabileceğimiz düşünceler çok daha fazla olabilir.
Kısa Kaynak Notu
Bu yazıdaki matematiksel sonuçlar temel sayı teorisi bilgilerine ve Öklid algoritmasına dayanmaktadır. Öklid'in Elementler (Elements) adlı eseri, sayıların ve oranların sistematik biçimde incelendiği klasik matematik metinlerinden biridir. EBOB'un hesaplanmasında kullanılan Öklid algoritması da bu tarihsel matematik geleneğiyle ilişkilendirilen temel yöntemlerden biridir.
Kaynak olarak başvurulabilecek temel eserler arasında:
Öklid – Elements (Elementler)
G. H. Hardy ve E. M. Wright – An Introduction to the Theory of Numbers
David M. Burton – Elementary Number Theory
yer alır.
Ve forumdaki soruya dönersek:
72 ve 80 sayılarının en büyük ortak böleni = 8
Peki siz olsaydınız 8'i bulmak için bölenleri tek tek mi listelerdiniz, yoksa Öklid algoritmasını mı kullanırdınız? Daha da önemlisi, günlük hayatta “iki farklı şeyi en büyük ortak parçalara ayırma” problemiyle nerelerde karşılaştığınızı hiç düşündünüz mü?